5.2 大数定律

1. Bernouli 大数定律

==(0-1 分布、概率相同、多次实验)==

设 $n_A$ 为 $n$ 次试验中事件 $A$ 发生的次数，$p$ 为事件 $A$ 在每次试验中发生的概率，则对任意 $\epsilon > 0$，有

$$\lim_{n \to \infty} P\left(\left|\frac{n_A}{n} - p\right| \geqslant \epsilon\right) = 0$$

或

$$P\left(\left| \frac{n_A}{n}-p\right| < \varepsilon\right) = 1$$

即 $\frac{n_A}{n}\xrightarrow[n\to\infty]{P}p$

2. 大数定律

若随机变量序列 $X_1, X_2,\cdots, X_n$ , 满足：对任意 $\varepsilon > 0$，有

$$\lim_{n\to\infty} P\left(\left| \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_n-\frac{1}{n}\sum^{n}_{k=1} E(X_k) \right| < \varepsilon\right) = 1$$

则称随机变量序列 $X_1, X_2,\cdots, X_n$ 服从大数定律，记为 $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_k\xrightarrow[n\to\infty]{P} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}E(X_k)$

3. Chebyshev 大数定律

==（两两无关方差有界）==

注：

若如此，称为 ==Markov 大数定律==。

4. Khintchine 大数定律

==（相互独立、同一分布、期望相同）==